Salut Chlotus,
Comme te l'as dis Aerya plus haut, il faut que tu copies la clé dans le home de l’utilisateur que tu utilises pour te connecter en SSH à ton NAS.
Le bon chemin du fichier à modifier, sauf si tu te connectes en root, est donc:

~<ton_user_nas>/.ssh/autorized_keys
Equivalent à 
/var/services/homes/<ton_user_nas>/.ssh/autorized_keys

Ensuite depuis le dédié, en étant connecté avec l'utilisateur qui a généré les clés SSH, tu dois pouvoir te connecter sans mot de passe avec:

ssh <ton_user_nas>@<ton_user_nas>

Voilà un exemple de configuration fonctionnelle chez moi, tu devrais arriver a quelquechose d'équivalent pour que ca marche.
Sur le dédié, connecté avec mon <user_dedie>:

<user_dedie>@Laptop-Mint ~ $ cat ~/.ssh/id_rsa.pub
ssh-rsa AAAAB3NzaC1yc2EAAAA(...)AVm9PXE8olZeKv8QaYQLeNV <user_dedie>@Laptop-Mint

Sur le NAS, connecté avec mon <user_nas>:

<user_nas>@nas:~$ cat ~/.ssh/authorized_keys 
ssh-rsa AAAAB3NzaC1yc2EAAAA(...)AVm9PXE8olZeKv8QaYQLeNV <user_dedie>@Laptop-Mint

Si ça ne fonctionne toujours, il me semble que j'avais du activer la connection par clé qui est désactivée par défaut sur Synology.
Pour cela, tu dois éditer le fichier de conf ssh

sudo vi /etc/ssh/sshd_config

Et décommenter les deux lignes suivantes :

PubkeyAuthentication yes
AuthorizedKeysFile	.ssh/authorized_keys

Ensuite tu redémarres le service ssh:

sudo synoservicectl --reload sshd

chlotus
Ah d'accord, du coup tu pourras essayer toutes les commandes possible depuis ton dédié, rien ne fonctionnera.
Si ton NAS est derrière une box internet, est-ce que tu as bien redirigé ton port SSH vers le NAS dans la configuration de ta BOX ? Ce port est-il bien ouvert dans le firewall de la Box ?
Et est-ce que tu utilises bien ton IP publique et non l'IP locale de ton nas (192.168.***.***) ?

chlotus
On sait jamais, autant demander, ça évite de passer des heures sur un faux problème