Ce qui aiderait surtout c'est la configuration de ton phpmailer. Essaye de faire un test avec openssl sur le port 587 depuis ton conteneur, pour voir si ça bloque à ce niveau là.
# mail.txt
ehlo mailserver
auth plain AHNhcmFoLmNvbm5vckBkb21haW4udGxkAHRlc3RwYXNzd2QxMg==
mail from: <ton_adresse@gmail.com>
rcpt to: <destinataire@domain.tld>
data
From: Tintwo <ton_adresse@gmail.com>
To: Destinataire <destinataire@domain.tld>
Date: Sat, 18 May 2018 10:00:00 +0200
Subject: Test mail
This is a test mail.
.
quit
Remplace la chaine base64 (AUTH PLAIN) par la sortie de cette commande :
echo -ne '\000ton_adresse@gmail.com\000ton_mot_de_passe' | openssl base64
Et pour établir la connexion avec STARTTLS sur le port 587 :
openssl s_client -ign_eof -connect smtp.gmail.com:587 -starttls smtp -crlf < mail.txt
J'ai testé avec mon compte gmail, ça fonctionne bien. Si tu utilises une auth double facteur, il faut te générer un mot de passe unique pour ton application :
https://security.google.com/settings/security/apppasswords